\(\Large \displaystyle \lim_{ x \to \infty } x \cdot e^{- x^2} =0 \)
\(\Large \displaystyle \lim_{ x \to -\infty } x \cdot e^{- x^2} =0 \)
を証明しましょう．
まず，
\(\Large f(x) = e^{x^2}-\frac{x^2}{2} \)
を考えます．微分は，
\(\Large f'(x) = 2x e^{x^2}-x \)
\(\Large f''(x) = 2 e^{x^2}+4x^2 {x^2} \)
となります．
x>0の範囲で，f''(x)>0であり，f''(0)=2>0であり，単調増加関数なので，f'(x)は単調増加関数となります．
f'(0)=0であるからf(x)は単調増加関数となります．
f(0)=1であるので，f(x)>0となるので，
\(\Large f(x) = e^{x^2}-\frac{x^2}{2} > 0 \)
\(\Large e^{x^2} > \frac{x^2}{2} \)
が導き出されます．この式の逆数を取り，ｘを掛けると，
\(\Large 0 < \frac{x}{e^{x^2}} < \frac{x}{\frac{x^2}{2}}=\frac{2}{x} \)
となります．
\(\Large \displaystyle \lim_{ x \to \infty } \frac{2}{x} =0 \)
となるので，上記の両辺が0となり，間に挟まれた式の極限も0となります（はさみうちの原理）．
従って，
\(\Large \displaystyle \lim_{ x \to \infty } \frac{x}{e^{x^2}} =\lim_{ x \to \infty } x \cdot e^{-x^2} = 0 \)
となります．
また，-∞の場合には，
\(\Large t \equiv -x \)
と置けば，
\(\Large \displaystyle \lim_{ x \to -\infty } x \cdot e^{-x^2} =\lim_{ t \to \infty } -t \cdot e^{-(-t)^2} = -\lim_{ t \to \infty } t \cdot e^{-t^2} = 0 \)
となりますので，証明できました．